《微积分的历程》微积分学习之路

1. 牛顿是天才，他推广了正整数n为任意有理数，并开启了古典数学分析时代，其广义二次项定理至今仍广受赞誉。

2. 莱布尼兹为微积分赋予了更清晰的几何意义，他的贡献至今仍为数学家所称道。

3. 无穷小被滥用表明需要将数学直觉转为明确的数学定义，实现精确理解。

4. 柯西定义了极限、连续、导数以及微积分基本定理，成为进入经典数学分析时代的标志。

5. 黎曼积分定义的提出摆脱了对连续性的依赖，为数学分析带来了新的思路。

6. 狄利克雷函数被提出，并被证明处处不连续且黎曼不可积。

7. 刘维尔第一次证明了一个超越数，表明有理数完成了微积分严密性表达的最后一步，虽然有些缺乏直觉的魅力。

9. 魏尔斯特拉斯提出一致收敛性的约束下，函数序列中个体函数的主要性质将会传递给它的极限函数，包括连续性和黎曼可积性。

10. 魏尔斯特拉斯提出魏尔斯特拉斯病态函数，这个函数虽处处连续但是无处可微，打破了人们对可微的幻想。

11. 狄利克雷函数处处不连续且非黎曼可积，而托梅函数则仅在有理数点不连续且黎曼可积。不过黎曼可积可以有多不连续，这个问题由勒贝格解决。

12. 一致收敛不是交换极限与积分的必要条件，勒贝格有界收敛定理和修改积分定义解决了这个问题。

13. 康托尔提出的集合论彻底改变了数学，跨入现代数学分析时代。

14. 康托尔论证了超越数的存在以及实数集的完备性，他被誉为分析学的算术化家。

15. 沃尔泰拉证明了一个定理：不可能存在一个在每个有理数点连续而在每个无理数点不连续的函数。这个定理说明了有理数集和无理数集虽是实数的稠密集，但在本质上是不可互换的。

16. 沃尔泰拉提出了一个导数极度不连续的函数，这个函数黎曼不可积，说明黎曼积分对导数的连续性仍存在一定的依赖。

17. 汉克尔提出点态不连续函数，希望能成为黎曼可积的充要条件，但遇到了不可测集。点态不连续函数中包含了一些函数不可黎曼积分。

18. 贝尔发现了汉克尔函数分类的问题，通过集合分类解决了一个疑问：一个导数可以有多不连续——不是非常不连续，必定在一个稠密集上是连续的。

19. 贝尔提出了贝尔集合分类，并顺着集合分类提出贝尔函数分类。

20. 贝尔认为集合论具有巨大的威力，提出向集合论过度，并实际践行。尽管他的病弱的身体最终终结了学术生涯，但他为后来者指引了方向。

21. 勒贝格称赞贝尔思路的高明之处，全面继承了他的研究，并开始向前推进，首先从集合分类开始。

22. 勒贝格提出了可数无限个零度集的并为零度集，并提出黎曼可积的充要条件m(Df)=0。

23. 勒贝格发展出勒贝格测度以及可测函数，这排除了不可测集。

24. 在此基础上，勒贝格将黎曼积分扩展为勒贝格积分，一举解决了微积分基本定理和极限与积分的交换定理的遗憾。

25. 勒贝格被誉为两百多年来数学界的集大成者，他的贡献可敬可叹。