《A History of Mathematics》Book Review from MAA

维克多·卡茨的《数学史：导论》已经以其全面涵盖古代文明至计算机及其应用的内容而成为众所周知的一本教科书，仅不到900页。第三版（2009年）与第二版（1998年）在内容上基本保持一致，但也进行了修订和更新。最重要的是，自从参与上一版以来，卡茨编辑了《埃及、美索不达米亚、中国、印度和伊斯兰的数学》，这导致了对《数学史》进行了实质性的改变，每个地区都有新章节。因此，新的古代和中世纪世界的学术领域已经迅速引入了这本广泛使用的教科书中。在更为人熟知的希腊数学领域中，对于后来的欧洲数学理解至关重要的《欧几里德几何原本》现在拥有比以前更长的讨论，还新增了关于阿基米德拓印以及由此产生的发现的讨论。

对于历史的后期阶段，在重点转向西欧的地方，材料被有用地区分开，例如，韦特和史蒂文（他们在动机和产出方面非常不同）现在各自都有自己的小节；同样，牛顿和莱布尼茨的成熟微积分被单独对待，与十七世纪初微积分的开始有所区分。

卡茨对十八世纪微积分修订后的讨论也有所不同，增加了一个新章节，讨论将牛顿《自然哲学的数学原理》中的方法转化为微分法。对于十八世纪，概率、代数和几何现在各自都有一个完整的章节，并且还有一个新的十九世纪概率的章节，因此现在可以通过本书的下半部分追踪代数、分析、概率和几何的不同线索。本书最后还详细讨论了二十世纪解决一些古老问题的方法：费马大定理、四色问题和庞加莱猜想。

尽管有这些令人欢迎的更新，但一些早期版本的问题仍然存在。一个问题是将历史数学翻译为现代符号。当然，这在某些情况下是有用的，有时是必要的，以帮助理解，但是不返回原始文本进行研究将淡化历史的真实性。例如，卡茨对牛顿发现普遍二项式定理的描述声称，牛顿通过一种优雅的现代公式来做到这一点。然而，这与牛顿经历了漫长的试错和经验观察，并且只在最后阶段才得出某种公式的原始文献证据几乎没有关系。

第二个问题是缺乏参考文献，这使得读者很难自行查找原始资料。例如，在刚才讨论牛顿二项式定理的情境中，卡茨告诉我们（第550页），arcsin的无限级数在欧洲首次出现在《解析学》中。然而，搜索名为《解析学》的书籍将没有结果。牛顿的《解析学》是在1669年编写的，多年未出版（因此，按照常用约定，我用引号而不是斜体写），直到1711年才在《计算、级数、流和差分的分析》的标题下出版。现在，像许多其他历史数学文本一样，这些文本可以在线获得，这对于数学史研究者来说是无价之宝，但是为了确定并找到这样的文本，学生需要准确的日期和标题，而这些信息卡茨往往没有给出。

每章末尾都提供了参考文献列表，但是有些已经有点过时。例如，关于十八世纪的代数的参考书目（第684-685页）中列出了1973年、1984年和1985年的三本最新出版物，并且只引用了麦克劳林《代数论文》的第二版（为什么不是第一版）。

更新这么长的书当然是一项庞大的工作，但遗憾的是，之前版本的一些缺点在最新版本中仍未得到解决。然而，卡茨的《数学史》仍然是迄今为止最全面的历史数学教科书，仅因此一点就对学生和教师来说是宝贵的资源。珍妮弗·斯泰德尔是牛津皇后学院的数学史讲师和研究员。