《测度论引论 (英文版)》"Introduction to Measure Theory (English Version) and Summary of Real Analysis"

上学期学了实变函数论这门课，教材是陶哲轩的《测度论引论》。现在刚学完Lp空间，在国庆假期回去复习实变函数的机会，简单参照陶哲轩的书的大纲写一下实变函数这门数学分析的后续课程的大意。

实变函数的主要内容是研究n维欧氏空间上的Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。实变函数论是数学分析的进一步抽象与精密化，相比于数学分析研究的是几乎处处连续函数的微分和积分。

实变函数论研究更为一般的可测函数，Lebesgue可积函数类比黎曼可积函数类广泛。黎曼可积函数要求整个函数的振荡不能太剧烈，即需要函数是基本上连续的。而Lebesgue可积函数类比黎曼可积函数类更广泛，Lebesgue可积函数序列即使存在极限，其极限函数也未必可积。Lebesgue可积函数的积分与求极限可以交换顺序的条件也可以减弱很多。

实变函数论取得了一些数学分析中没有的结论。例如，黎曼可积函数类是Lebesgue可积函数类的完备化。在实变函数论中，可以给出牛顿-莱布尼茨公式成立的充分必要条件是函数是绝对连续函数的结论。

测度是函数的推广，定义在一个集合族上，满足可数可加性和把空集映射成0的两条测度公理。Lebesgue测度是从直线上区间的长度出发推广到一般的欧氏空间Rn上的。

Lebesgue测度的第一种扩张是Jordan测度，以古希腊阿基米德穷竭法的思想为基础，定义了Rn子集的Jordan外测度和Jordan内测度。Jordan测度不具有可数可加性，而且对可数并运算不封闭。Jordan测度的有限可加性推广到可数可加性就得到了Lebesgue测度。

Lebesgue测度的第二种扩张是由Lebesgue外测度推广而来的。定义了Lebesgue可测集的概念，Lebesgue可测集是具有良好拓扑性质的集合。Lebesgue可测集具有可数并和差运算的封闭性，构成σ-代数。Lebesgue测度具有可数可加性，完成了盒子的基本测度的第二种扩张。

Lebesgue可测函数是定义在Lebesgue可测集上的函数。简单函数是示性函数的有限线性组合，可测函数是几乎处处逐点极限的简单函数。可测函数具有比连续函数更好的封闭性，可以通过简单函数的逐点极限、上下极限和上下确界得到新的可测函数。

Lebesgue积分定义在可测函数上，首先定义了简单函数的Lebesgue积分，然后定义了非负可测函数的Lebesgue积分，最后定义了一般的可测函数的Lebesgue积分。Lebesgue积分具有线性性、单调性、绝对可积性和可数可加性等性质，与黎曼积分有一定的关系。

Lebesgue积分的应用包括三条极限定理和Fubini定理。极限定理给出了积分与极限交换顺序的条件，Fubini定理刻画了重积分与累次积分的关系。

最后，还可以给出Lebesgue积分对应的微分理论。黎曼可积函数的变上限积分未必可微，而且一个可微函数的导数未必黎曼可积，通过Lebesgue积分的扩张和测度论的工具，可以给出可微函数的充分必要条件。

Lp空间的理论是实变函数论的扩展，将p次方可积函数类定义为赋范线性空间，关于Lp范数的性质可以证明。这一部分内容可以在泛函分析中讲述。