《真实与虚拟》概率：确定性中的不确定性

大学学概率论，总是不怎么理解什么是概率，大数定理，期望，方差，精确度，确信度。

感觉概率是差不多正确的学问，就是它没办法保证一定对，但是差不多能接近正确答案。

总之，我的脑子，一团浆糊。

直到金老师的《真实与虚拟——后真相时代的哲学》的第一编第三章<可能性的“真实”研究>及其引用文献DimitriP.Bertsekas的《概率导论》，才渐渐拨开了我脑中的浆糊。

单次控制结果的不确定性

为什么会产生概率这门学问？因为生活中有很多事是不确定的，比如扔硬币、投掷骰子、明天会不会下雨、今年夏天会不会很热、今年冬天会不会很冷、会不会发生旱灾、孟德尔的豌豆实验长出来的这棵豌豆是高的还是矮的、放射性元素的衰变（这个原子在今天会不会衰变）？

这些事情的结果，看起来都是不确定的，对它们进行预测，看起来是碰运气，好像只能是大约估计估计。比如，天空的云越来越密，估计过段时间或明天下雨的可能性会增大了。但实际上不确定的背后，却蕴含着确定性。

确定性之一：控制结果的可能性空间的确定性

首先，这些单次结果不大确定的事件，它们的所有结果的总的可能性空间是确定的。比如，投掷硬币的结果要么是正面、要么是反面，只有两种可能，也许你还会说它可能会立着不倒下，我小时候扔硬币确实遇到过这种情况。那就三种吧，也就是说结果可能与投掷的方式、硬币的特点、地面与环境的特点有关。但是，当你的环境（受控实验的控制条件）确定后，可能性的种类是不是能确定呢？

确定性之二：事件的概率的确定性

当你的硬币造得很均匀（正面反面几乎完全一样），投掷机器对正面与反面的处理完全随机，投掷的次数很大时，是不是得到正面与反面的次数也会大致相等？

你会说，这有误差啊，不能完全均匀，不能完全随机，所以最终还是不能确定完全相等。

是的，有人做了50000次实验，每次实验扔32次硬币，正反面次数完全相等的大约7000次。详见下图。

我以前也迈不过这个思维的坎儿。这就是概率论这门概率与统计数学学科和实际的实验的差别。

实验可能是有误差的，但是数学是实验的符号表示，也就是我们在实验设计的符号表示上设定为没有误差，或者误差在某个范围之内。若误差在某个范围之内，那么数学符号和实验控制都是可以做到的。

举个例子，几何中的点线面，点的长度与宽度都是0，线的宽度也是0，这在现实经验中是没办法做到的，但是在数学的符号设定上，我们可以设定它为0，也就是误差可以任意小。（这里还涉及到邻域、连续等拓扑学概念，我们在后续文章再进一步探索分析。）

当有了这样的单次结果不确定但特定结果的概率确定的基本设定以后，我们可以完全肯定的说，当次数无穷多时，正面与反面的次数的差别与总次数的比例是任意小的，也就是完全一样。

用n次重复伯努利实验和大数定理可以在数学上完全证明

（证明过程，我们将在后续的文章中给出）

再说孟德尔的豌豆杂交实验

经过高矮杂交后的豌豆，第一子代都是高的，第一子代高的之间再结合，产生的第二子代，有的高，有的矮，对于特定的某一株来说，看起来高矮是不确定的（那个时候还没有完全发现基因与基因检测技术，如果能检测基因，那么，现在对某一株刚出生时就可以确定高矮了），但是统计时，高的和矮的比例却接近3:1，孟德尔的实际数量是787:277（2.84:1）。也就是有一定的确定性。我们现在已经掌握了基因技术，若人造豌豆，或者人工受精，那么通过实验仪器的完全随机的控制设置，应该可以在次数接近无穷时，更小误差地接近3:1。也就是我们在概率这种符号设计上，可以完全控制3:1的误差任意小，因为符号设计的实验控制的前提包含了完全均匀与随机的控制条件的可控性。

概率的设定，即结果不确定的受控实验的设计，单次结果不确定，但无限多次实验的统计结果，误差可任意小。（你可能会说，实验没办法做无限多次。是的，这也是数学和实验的区别，数学的无限多次，不是经验上的无限多次，而是不管你做了多少次，我还可以继续再做一次）。也就是做了n次后，虽然误差还没有减小到任意给定的误差范围以内，但我还可以继续做下一次实验，而持续不断的实验序列，总会使总的统计误差收敛到任意给定的误差范围内。

放射性元素的半衰期

现实世界中，还存在另一种天然的均匀性与随机性。那就是放射性元素的衰变周期半衰期，也就是有一半原子发生了衰变经过的时间，它的误差也是任意小的，很奇特，我们以后再继续深入研究。

下图显示了Co-60这种元素的质量持续地减少，变为上一次的一半时，经过的周期时长都是完全一样的。

虽然对某一个特定的原子来说，我们没办法确定它在下个周期是否衰变了，但是对于整体来说，我们完全确定，每个周期后，有一半的原子衰变了。

真是奇妙！

今天的概率论先开个头，我们将和您一起持续探索真实性。如果您觉得有所收获，欢迎您点赞、留言反馈和关注。

参考文献：

《真实与虚拟——后真相时代的哲学》金观涛

《概率导论》DimitriP.Bertsekas（美国工程院院士），JohnN.Tsitsiklis