《数学女孩2》数女2指南: 大学生轻松驾驭数学女孩进阶版

相对于《数学女孩》第一本，第二本有了一个相对宏大的主题，那就是著名的“费马大定理”（在证明之前，过去大家习惯叫做“费马大猜想”）。

而这个数学证明的过程堪称史诗级，谜面看起来就像一个初等数论的命题，它穷尽了初等数论、又推动了代数数论、最后却要靠几何数论，跨越了四个世纪！

完整的历程介绍，建议大家看另一本科普书：冯克勤的《费马猜想》（科普书也只能介绍历程，而不能向大家讲解怀尔斯那艰难的证明本身）。而《数女2》所说的并没有完全地介绍证明的历程，那可能这里会让一些大学生困惑，那还看来干嘛。

那我们挨个聊一下费马大定理证明过程当中最重要的几个要点，《数女2》是怎么抓的，和其他科普书有什么不一样。

首先是“长得很像勾股定理”！对吧，把勾股定理的平方改成大于等于三的自然数就成了费马大猜想。作者正是抓住了这个特征，首先介绍勾股定理当中几个有趣的点，来拉近读者的距离，从第2章到第4章把基本勾股数的常见公式（这里头叫做“毕达哥拉斯牌榨汁机”）和单位圆上的有理数点。

前者通过基本勾股数的产生公式，介绍了初等数论的模样，手把手教各位读者初等数论的几板斧：奇偶性的调查、反复套用的反证法、互质与质因数分解。所以第二章到第四章可以说是高中生的课外读物，中学的数学水平就能够完全理解，并且可以由此提高自己的能力。

而后者是作者故意埋伏笔串联后面的内容。这个东西厉害了，跟后面的有理数域与抽象代数的域结构（第六章）、欧拉公式（第九章）和复平面上解析函数的自守形式（最后一章）都埋了伏笔！对于大学生应该好好读一读，特别是应该掌握第九章：欧拉公式！……欧拉公式是怎样把自然常数和三角函数架起桥梁的正是通过幂级数。当然，它并没有证明复数下的收敛性质和介绍复数下的收敛的概念，这也值得大学生注意。

第二，作者接着在第七章，着重介绍了从初等数论的“同余”出发去的“有限域”，并且在《数学女孩》系列首次介绍抽象代数：群、环、域的概念（他的第五本为了介绍伽罗瓦的群论，是会费马太高估这个方法的威力了，以至于他以为“我确信自己已经找到了解法，只是这里的纸太小了，我写不下”-̗̀(๑ᵔ⌔ᵔ๑)……其实n=4是一个特例！有且只有n=4，这一个特殊情况下，可以用初等数论这么搞出来！如果费马泉下有知，不知作何感想。

最后，《数女2》作为这个系列开创了一个新的写法：把最难搞的问题描写成超过高中生水平（相当于我国大学生水平）的大学研讨会的形式，然后就说主人公都听不懂，然后大家需要女神米尔嘉来讲解一些，其中稍微能懂的东西(´-ω-`)

在这里头，他介绍了重点在于自守形式（模形式的伙伴），而不是大多数科普书选择的介绍椭圆曲线！这个非常有智慧，为什么这么说呢因为看过其他的书就会知道椭圆曲线更有威力的，其实是密码学上的应用，而是因为现代密码学才把椭圆曲线搞红的。而在怀尔斯的证明里头，通过有限域的椭圆曲线创造对应费马大定理的弗莱曲线，它是一个工具性的桥梁，它不是主角。主角应该是把自守形式的幂级数展开的系数a(p)，和有限域椭圆曲线的解的个数s(p)，他们居然神奇的有：a(p)+s（p）=p，（而且p是质数！所以作者很闷骚的说这个跟黎曼的Zeta函数相关）……这就是谷山丰猜想（怀尔斯那个时候还没有完全被证明，所以叫猜想，但是现在已经被证明了）。

所以作者在《数女2》介绍的是谷山丰定理这么一个主角，而不是椭圆函数，纠正了很多科普书的问题：椭圆函数在这里做了一个工具人，而且椭圆函数红了也不是因为费马大定律的证明。

由于这一切都超出了高中数学的水平，所以这里希望大学生学有余力的情况下，可以细细学习。最后来个文末思考：冯克勤写的《费马猜想》和本书给的自守形式（或模形式）介绍的解析函数例函数的异同，哪一个更简练呢。

本书内容

《费马猜想》中的内容