我看的是第三版GTM135(封面上标有GTM)的《线性代数》。这本书有很多亮点。首先,它分为了Preliminaries(入门前提)、Basic Linear Algebra(基础线性代数)和 Topics(主题)三个部分。Preliminaries可以用于复习抽象代数,其中还包含了实分析中关于集合基数运算的方便结论(没有证明)。Basic Linear Algebra这个部分可以全看。而 Topics 部分的各个章节都是独立的,可以根据兴趣选择阅读,不必全部看完。这样的结构相比丘维声的《高等代数》更加明确。
其次,这本书包含了丰富的知识,处理某些概念的方式令人惊叹并且印象深刻。比如,Preliminaries部分介绍了一个well-ordering principle(未给出证明),并在证明主理想整环上自由模的子模也是自由模时使用了此概念。这个定理证明过程非常精彩。书中还介绍了许多人们所提到的利用主理想整环上有限生成模的原则循环分解定理(Primary Cyclic Decomposition)等来获得任意域上有限维线性空间上线性变换(对应矩阵的方阵)的相似意义下的有理规范型。进而推导出线性代数中一个核心定理:Jordan标准型。此外,我建议没有学过双线性型的朋友阅读 Topics 中的章节Metric Vector Spaces: The Theory of Bilinear Forms,其中最重要的工作是建立了有限维正交空间和有限维辛空间的结构定理。
第三,这本书的证明非常详细,读者可以放心阅读。书中内容其实是很正常的线性代数,非常值得学习。
然而,这本书还是存在一些缺陷。首先,很难找到这本书的勘误。其次,一些小的地方处理不够严谨,导致出现错误。例如,书中的一个命题“有限维酉空间上的非零线性算子的极分解中的“长度矩阵”和“辐角矩阵”可交换当且仅当该非零算子是正规的”的证明看起来不够严谨,因此我仍然不确定这个命题是否正确。此外,在证明正规算子的谱定理的实数版本时,书中没有证明不可再分解的两维不变子空间中某种形式的基可以取成正交的(实际上确实可以);书中还提到“酉算子都可以写成反射的乘积”,这也是不正确的;书中给出的内积空间中内积诱导的范数的三角不等式的取等条件也是不正确的,正确的条件是其中一个向量可以写成另一个向量的非负实数倍。这些错误可能让人怀疑这本书的质量,但正如前面所说,这本书仍然包含了很多精彩的内容。
第三,这本书更多地讲述纯理论和应用,较少涉及人文历史等方面的内容,这可能有人喜欢有人不喜欢。
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