y^2=x^3+856967076x这方程有问题吧,下面那些E(Q)_tors压根不在曲线上啊,应该是y^2=x^3-x^2-24649*x+1355209才对得上。
sage验证如下:
sage:E=EllipticCurve([0,-1,0,-24649,1355209]);
sage:E.torsion_points()
[(-179:0:1),(0:1:0),(67:0:1),(113:0:1)]
也可以用E.gens()验证秩的大小,但毕竟生成元是不唯一的,说实话,我都不知道作者这种错误是如何产生的,估计写个错方程要不然torsionpoints也不会全都对上啊。
这表格有问题,我分别有sage代码和Wolframmathematica代码验证了一下,确认是有误的,代码如下:
sage: p=Primes()
sage: [[p.unrank(i),EllipticCurve([-4,16]).Np(p.unrank(i))] for i in range(0,9)]
[[2,3],[3,7],[5,9],[7,9],[11,16],[13,15],[17,25],[19,26],[23,30]]
WolframMathematica:
Table[{p,Length[SolveValues[Mod[y^2,p]==Mod[x^3-4x+16,p]&&0<=x<p&&0<=y<p,{x,y},Integers]]+1},{p,Prime/@Range[9]}]
{{2,3},{3,7},{5,9},{7,9},{11,16},{13,15},{17,25},{19,26},{23,30}}
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