打开数学之门：实变函数论（第二版）数学的语言

我常想，初入大学的那半年人文学习，竟然是那么神奇地像杠杆一样撬动了我之后多年的全部选择。

人文学科讲究细读，文学的原著细读、历史的考据还是哲学的重构论证，其实都是广义的细读，这些慢慢读、阅读字里行间的精神，形塑了我的学习心态，我也希望它们可以构成我的技艺之基础。

然而真正学点现代数学，才发现数学的细读并不在人文学科之下。

之前读某本传记时，看到过一俄国数学家的故事，说他学生时代一开始也学不好数学，于是一个字一个字地抄书，读进去了，也就逐渐学会了。这个故事也降临到我的头上，这学期为了学实变函数，将这本书从集合论到勒贝格积分的部分全部抄了一遍，才算是有点入门。

抄书确实是有实践可能性的。数学书的特点是一般都不厚，这本书不到200页；国内用的最多的华东师大的那本，实变和泛函写在一起才薄薄两本；最权威的周民强更是小开本的手册（或许也最难，最不适合初学者）；坊间好评很多的匡继昌，其实原书也挺薄，《实分析与泛函分析》不到400页；最经典的夏道行应该和美国博士生入学考试教材Folland以及较新的好评书Royden放在一起讲，都是狭义的实变函数（R空间里的测度论、勒贝格（微）积分和一点Lp函数空间）加泛函分析加抽象测度论，一般来说应该算数学专业的硕士生教材，所以虽然挺厚（400-500页），但应该当成两到三门正常课的汇总来比较；Stein那本融贯性的RealAnalysis其实更夸张，100页就解决了国内实变课一学期的内容，靠的是不讲预备性的集合论和拓扑。

另一方面，抄书大概真的是一种方法。华罗庚：“由薄读厚，再由厚读薄。”学其他学科，这种感觉还不真切，虽然同样是细读，但与其说是由薄到厚，不如说是反复重读（人文尤甚）或者“八面围攻”（社科尤甚）。

但是纯数学要想读的认真，就要读出：

1、没有一个多余的符号，甚至也没有一个无作用的汉字； 2、没有一个可以调换位置的定义或定理； 3、没有一个证明步骤是含糊的。

不读得十分慢，不一个符号一个符号地抄书：如果做不到条件记忆一字不差、补注每一个关节点的前后联系、搞明白每一个推理的逻辑和细部技巧，就很有可能就牵一发而动全身，前面的小漏洞溃烂成后面的复杂处的大漏洞。自己学了才懂得，“由薄到厚”真的是华老根据自己学科特点总结的经验；而至于后面的由厚读薄，大概指的是自己试着写写教材一类的吧。

再谈谈如何评价一本数学书。

首要的还是看三个基础层面：

1.规范：符号用的合不合主流，如果与主流不同，能不能讲明白改变记法的原因。其实很多书都做不到这一点，这使得数学的各版块之间衔接不流畅、或者让简单的概念变复杂了。另外，排版要稀疏一点好，数学的信息密度本身就很大，留有余地的书让人看着放松些（记得鲁迅也是这样说排版问题的）。再次，不能有太多印刷错误。

这本书在这方面做的不够好，排版上字太小、数学符号印的不够舒展，读的时候一开始真有些不习惯；印刷上越到后面错误越多，还好都是些一眼就能看出来改正的计算错误，对于一本已经出到第二版的书，差强人意吧。

2.结构：叙述的次序安排是不是前后呼应。并非说有什么一定要遵循的次序，但要能展现自己的理解，自圆其说。选取的方法尽量不用奇技淫巧，而是逐步推进概念体系为妙；剩下那些都还不错的证明方法里，无论具体选什么，要写完整、不犯细节上的错误。本书的证明里，Cantor-Bernstein，Riesz以及L∞空间完备性、Lp空间可分性的证明我觉得选的不够精到，其他尚可。

另外的一些标准则更个性化，应该说各自适合不同阶段不同的人才对：

1、自然语言是简练还是活泼； 2、内容是多是少，侧重应用还是抽象； 3、对证明过程的讲解是详细还是直击重点要求读者自己动脑补全； 4、课后题难还是基础。

读进去还要走出来，我认为符合基础标准之后的书都可一读，精读一本书后再以这本书为基准左右前后比较一至两本各具不同特色